Η ψηφοφορία επιτροπών που βασίζεται στην έγκριση έχει συγκεντρώσει σημαντική προσοχή στην κοινότητα της κοινωνικής επιλογής. Μεταξύ των κανόνων που έχουν εξεταστεί, οι κανόνες Θήλε, και ειδικότερα η Αναλογική Ψηφοφορία Έγκρισης (PAV), ξεχωρίζουν λόγω επιθυμητών ιδιοτήτων, όπως η αναλογική εκπροσώπηση, το βέλτιστο κατά Παρέτο και η μονοτονία υποστήριξης. Το βασικό τους μειονέκτημα συνίσταται στο ότι ο υπολογισμός ενός αποτελέσματος Θήλε είναι, γενικά, NP-σκληρός.
Μια ελπιδοφόρα εξέλιξη προκύπτει από το γεγονός ότι οι κανόνες Θήλε παρουσιάζουν καλύτερη συμπεριφορά υπό συνθήκες δομημένων προτιμήσεων. Στο πεδίο διαστήματος υποψηφίων (CI), ο υπολογισμός τους είναι εφικτός σε πολυωνυμικό χρόνο μέσω ενός γραμμικού προγράμματος (LP) που χαρακτηρίζεται από μια ολικά μονοτροπική μήτρα περιορισμών. Ωστόσο, αυτή η μέθοδος αποτυγχάνει απροσδόκητα για το συγγενές πεδίο διαστήματος ψηφοφόρων (VI), με την πολυπλοκότητα του προβλήματος να έχει τεθεί επανειλημμένα ως ανοιχτό ζήτημα. Το κύριο εύρημά μας επιλύει αυτή την ερώτηση: παρόλο που η σχετική μήτρα δεν είναι ολικά μονοτροπική, το «τυποποιημένο» LP εξακολουθεί να δέχεται τουλάχιστον μία βέλτιστη ακέραια λύση, και παρουσιάζουμε έναν ταχύ αλγόριθμο για την ανεύρεσή της.
Η αναπτυχθείσα τεχνική επεκτείνεται με φυσικό τρόπο στο πεδίο διαστήματος ψηφοφόρων-υποψηφίων (VCI), το οποίο είναι επίσης γνωστό ως πεδίο εύρους ψηφοφόρων-υποψηφίων 1-διάστασης (1D-VCR), καθώς και στο γραμμικά συνεπές (LC) πεδίο. Και τα δύο αυτά πεδία αποτελούν γενικεύσεις των πεδίων διαστήματος υποψηφίων και ψηφοφόρων. Αν και τα πεδία VCI και LC έχουν αποτελέσει αντικείμενο μελέτης στην κοινωνική επιλογή, η μεταξύ τους σχέση ήταν άγνωστη. Εμείς αποδεικνύουμε, αξιοποιώντας συνδέσεις με τη θεωρία γραφημάτων, ότι το LC περιλαμβάνει αυστηρά το VCI. Επιπλέον, προσφέρουμε έναν εναλλακτικό ορισμό του LC, ο οποίος είναι πιο συμβατός με το πνεύμα του VCI και διαθέτει μια φυσική ερμηνεία στις εκλογές έγκρισης· αυτή η ισοδυναμία ενδέχεται να παρουσιάζει ανεξάρτητο ενδιαφέρον. Τέλος, εξετάζουμε μια εναλλακτική γενίκευση του VCI, βασισμένη σε δομές δέντρων, και καταδεικνύουμε ότι οι κανόνες Θήλε καθίστανται NP-σκληροί ως προς τον υπολογισμό σε αυτό το συγκεκριμένο πεδίο.
