Παρουσιάζεται μια ενοποιημένη θεωρητική ανάλυση της Γραμμικής Διακριτικής Ανάλυσης (LDA), η οποία περιλαμβάνει ταυτόχρονες διατυπώσεις μήτρας διασποράς πολλαπλών ετικετών και περιορισμούς ορθογωνιότητας Stiefel. Οι συνεισφορές της παρούσας εργασίας καλύπτουν τόσο την αλγεβρική δομή όσο και τις στατιστικές εγγυήσεις.
Στο αλγεβρικό πεδίο, προσδιορίζεται η τάξη της μήτρας διασποράς μεταξύ κλάσεων πολλαπλών ετικετών, αποδεικνύοντας ότι η αποτελεσματική διακριτική διαστατικότητα δύναται να υπερβεί αυστηρά το κλασικό όριο $C-1$ της μονής ετικέτας. Θεσπίζεται μια πολυετικετοποιημένη διαίρεση της διακύμανσης και αποδεικνύεται ότι και οι τέσσερις στόχοι Fisher είναι ισοδύναμοι υπό τον περιορισμό $W^top S_t^{ML} W = I_r$, ενώ παράλληλα χαρακτηρίζεται η απόκλισή τους υπό τον περιορισμό Stiefel. Επιπλέον, αποδεικνύεται ένα αμφίπλευρο όριο διατήρησης της απόστασης ετικέτας, το οποίο συσχετίζει τις προβαλλόμενες αποστάσεις με τις αποστάσεις Hamming στον χώρο των ετικετών.
Στη στατιστική πλευρά, καθορίζεται ένα όριο $O(k_{max}sqrt{dlog d/n}/gap_r)$ για το σφάλμα εκτίμησης υποχώρου σε πεπερασμένο δείγμα υπό υπο-Γκαουσιανό θόρυβο, συνοδευόμενο από ένα αντίστοιχο ελάχιστο όριο minimax $Omega(sigma^2 d/(n,gap_r))$. Αυτό καθιερώνει έναν σχεδόν βέλτιστο ρυθμό minimax (που αντιστοιχεί σε λογαριθμικούς και $k_{max}$ παράγοντες) για την εκτίμηση του διακριτικού υποχώρου πολλαπλών ετικετών. Περαιτέρω, παρέχεται συγκέντρωση απόστασης υψηλής πιθανότητας, εγγυήσεις στιβαρότητας υπό αλληλεπιδράσεις ετικετών, καθώς και μια ανάλυση κανονικοποίησης που διατηρεί τη φασματική δομή όταν $d gg n$.
Όλα τα αποτελέσματα επαληθεύονται αριθμητικά σε συνθετικά δεδομένα που παράγονται από το μοντέλο γραμμικού φαινομένου ετικέτας. Η επαλήθευση καλύπτει τόσο τις αλγεβρικές ταυτότητες όσο και τις ειδικές για πολλαπλές ετικέτες ποσότητες ($k_{max}$, $kappa(S_t^{ML})$, $|Gamma/n|_2$, $Delta_r$) που καθορίζουν τα στατιστικά όρια. Τα αριθμητικά πειράματα έχουν σχεδιαστεί ως έλεγχος ορθότητας για τα θεωρήματα και όχι ως εμπειρικό σημείο αναφοράς. Η αξιολόγηση σε πραγματικά σύνολα δεδομένων πολλαπλών ετικετών ανατίθεται σε μελλοντική εργασία που θα στοχεύει σε εφαρμογές.
arXiv:2605.03283v1 Announce Type: cross
